Lösungen Übungsblatt 5

Aufgabe 1

4x4-Matrix:
detA = 6

3x3-Matrix:
detA = -18


Aufgabe 2

A^-1

38	-59	52	27
-20	31	-27	-14
-27	42	-37	-19
-1	2	-2	-1

Aufgabe 3

charakteristisches Polynom:
-λ³ + 2λ² +λ -2

Eigenwerte
λ₁ = 1
λ₂ = -1
λ₃ = 2

Eigenvektoren:
λ₁ = 1 --> 1/3 [-2/1/3]
λ₂ = -1 --> 1/5 [-8/3/5]
λ₃ = 2 --> [-1/0/1]


Aufgabe 4

-λ⁵ + 10λ⁴ - 29λ³ + 22λ² + 2λ - 4

Hey Maxi,

ich komm bei der Aufgabe 4 auf das gleiche wie du, nur mit genau den umkekehrten Vorzeichen.
Kannst du mir mal sagen, wonach du aufgelöst hast?

Hat eigentlich jemand eine Ahnung, wie man das Polynom in die Eigenwertform umrechnen kann?

P.S. Sorry, ich hatte die Aufgabennummer vergessen

die eigenwerte sind die λ, also einfach auflösen.

bei welcher aufgabe hast du umgekehrte vorzeichen?

wie kannst du aufgabe 4 gemacht ? kannst du trick geben? ) danke

Wie trick? oO
da gibts keinen trick...in der ersten spalte sind doch fast alles nullen....da fällt doch fast alles weg.

und sonst: zur generellen vorgehensweise guck mal im skript unter "Lineare Algebra - Charakteristisches Polynom" - da müsste alles stehen.

(1-λ)^3 multipizieren (4-λ)(3-λ) hast du so gerechnet ? oder wie wieso bekomme ich andere werte raus?

Nein,
das ist falsch. du musst in die mittlere zeile erstmal die -λ schreiben. das hast du ja wohl schon gemacht. und dann musst du von der kompletten(!) Matrix, die Determinante bilden. und die Determinante ist dann das charakteristische Polynom.

Hier kannste nochmal gucken, wie das geht:

Entwicklungsregel von LaPlace

bei den Vektoren gibt es doch sehr sehr viele Vektoren, oder?
Also wenn ich nicht deinen habe, kann es trotzdem stimmen, oder?
Falls ja, schreibs doch bitte noch oben hin^^

Grüße

Ich habe auch eine Frage zu 4. Wie kommst du beim charakteristischen Polynom auf das x im Ergebnis?

War ein Tippfehler, sry xD

Und zu dem umgekehrten vorzeichen: das ist falsch....es muss das sein, was da jetzt steht (also nach unseren überlegungen und ergebnissen). musst du wohl einen rechenfehler gemacht haben.

Bei Aufgabe 3 wie kommt man da bitte auf das Ergebnis für das charakt. Polynom?

charakteristisches Polynom:
-λ³ + 2λ² +λ -2

also wenn ich das so quer mache habe ich bei der Matrix

(-1-λ)(-λ)(3-λ)
= (λ+λ²)(3-λ)
= (3λ-λ²+3λ²-λ³)
= (-λ³-2λ²-3λ)

Wo ist der Fehler?

ganz einfach:
du kannst nicht einfach nur die diagonale multiplizieren...das geht nur, wenn du die zeilen-stufen-form hast...
sonst musst du die determinanten bilden.

mfg

ahso ok danke. Habs mal neu gemacht auf nem Zettel aber wieder n Problemchen:

Spoiler:

Bekomme da immer doch "-λ³" raus. Kann ja auch nur wenn ich das so rüberrechne und dann (x-λ)*(y-λ)*(z-λ) da ist automatisch. Habs nach der Berechnung einer Determinante einer 3x3 Matrix auf Seite 69 gemacht aus dem Script (Sarrus Formel)-

-λ³ is doch richtig...

da is nur -2λ² falsch...da guck ich mal morgen...hab da jetz tkeinen nerv für

Max N. schrieb:

-λ³ is doch richtig...

da is nur -2λ² falsch...da guck ich mal morgen...hab da jetz tkeinen nerv für

Sorry Max ich habs selbst gefunden -.-" wollte dich nun nicht unnötig in Anspruch nehmen. Keine Ahnung wieso ich nun dachte, dass -λ³ falsch ist aber ich das +2λ² hab ich auch nun hab das falsch gerechnet -λ²+3λ² = +2λ² und nicht -2λ²

peinlich peinlich sorry nochmal

kein ding

dann is ja alles gut